Po ukončení stavební průmyslovky v Bratislavě vystudoval herectví na VŠMU (1973). Začínal v Divadle na Korze, později na Nové scéně (1971–1976). V letech 1976–1984 působil v činohře SND v Bratislavě, dokud neemigroval do Německa. Zpočátku účinkoval v mnichovském divadle Kammerspiele, později v Basileji, Bonnu a od roku 1985 v Schauspielhause v Hamburku, kde žije dodnes. V roce 2002 se stal ředitelem bratislavského Divadla Aréna. V Německu patří k oblíbeným divadelním a televizním hercům. Hrál v několika dílech seriálu Místo činu, v seriálech Via Mala, Hotel Ráj a Helicops a Kobra11.
Tento slovenský herec si zahrál v jednom dílu v Kobře11 v dílu – FRANKIE. Kukura zde hrál otce svého syna, který zemřel a kde se Tom potkal se svým otcem. Kukura je na konci dílu dopaden.
